Mik azok a fraktálok: a matematika szépsége és a végtelenség

2024 Szerző: Seth Attwood | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-16 16:07

A fraktálok egy évszázada ismertek, alaposan tanulmányozták őket, és számos felhasználási területük van az életben. Ez a jelenség azonban egy nagyon egyszerű gondolaton alapul: a viszonylag egyszerű struktúrákból mindössze két művelettel - másolással és méretezéssel - formák sokasága, végtelen szépsége és változatossága nyerhető.

Mi a közös egy fában, egy tengerparton, egy felhőben vagy a kezünkben lévő erekben? Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ezekben a tárgyakban semmi közös. Valójában azonban az összes felsorolt objektumban rejlik egy szerkezeti tulajdonság: önhasonlóak. Az ágból, valamint a fa törzséből is vannak kisebb ágak, belőlük - még kisebbek stb., vagyis az ág olyan, mint az egész fa.

A keringési rendszer hasonló módon van elrendezve: az arteriolák távoznak az artériákból, és belőlük - a legkisebb kapillárisok, amelyeken keresztül az oxigén belép a szervekbe és szövetekbe. Nézzünk műholdfelvételeket a tenger partjáról: öblöket és félszigeteket fogunk látni; nézzük meg, de madártávlatból: öblöket, fokokat fogunk látni; Most képzeljük el, hogy a parton állunk, és a lábunkat nézzük: mindig vannak olyan kavicsok, amelyek messzebbre nyúlnak a vízbe, mint a többi.

Ez azt jelenti, hogy a partvonal hasonló marad önmagához nagyításkor. Az amerikai (bár Franciaországban nevelkedett) matematikus, Benoit Mandelbrot a tárgyaknak ezt a tulajdonságát fraktálitásnak nevezte, magukat az ilyen tárgyakat pedig fraktáloknak (a latin fractus szóból - törött).

Mi az a fraktál?

Ennek a fogalomnak nincs szigorú meghatározása. Ezért a „fraktál” szó nem matematikai kifejezés. A fraktál általában olyan geometriai alakzat, amely megfelel az alábbi tulajdonságok közül egynek vagy többnek: • Bármilyen nagyítás mellett összetett szerkezetű (ellentétben például egy egyenes vonallal, amelynek bármely része a legegyszerűbb geometriai alakzat – a vonalszakasz). • (Hozzávetőlegesen) önmagához hasonló. • Van egy tört Hausdorff (fraktál) dimenziója, amely nagyobb, mint a topologikus. • Rekurzív eljárásokkal felépíthető.

Geometria és algebra

A 19. és 20. század fordulóján a fraktálok tanulmányozása inkább epizodikus, mint szisztematikus volt, mivel a korábbi matematikusok főként "jó" tárgyakat tanulmányoztak, amelyek általános módszerekkel és elméletekkel kutathatók. 1872-ben a német matematikus, Karl Weierstrass olyan folytonos függvény példáját konstruálja meg, amely sehol sem differenciálható. Felépítése azonban teljesen elvont és nehezen érzékelhető volt.

Ezért 1904-ben a svéd Helge von Koch feltalált egy folytonos görbét, amelynek sehol nincs érintője, és nagyon egyszerű megrajzolni. Kiderült, hogy a fraktál tulajdonságaival rendelkezik. Ennek a görbének az egyik változatát "Koch hópehelynek" nevezik.

A figurák önhasonlóságának gondolatait a francia Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrot leendő mentora vette át. 1938-ban publikálta „Az egészhez hasonló részekből álló sík- és térbeli görbék és felületek” című cikkét, amely egy másik fraktálról – a Lévy C-görbéről – ír le. Mindezek a fenti fraktálok feltételesen a konstruktív (geometrikus) fraktálok egy osztályához rendelhetők.

Egy másik osztály a dinamikus (algebrai) fraktálok, amelyek magukban foglalják a Mandelbrot halmazt. Az első ilyen irányú tanulmányok a 20. század elején kezdődtek, és Gaston Julia és Pierre Fatou francia matematikusok nevéhez fűződnek.1918-ban megjelent Julia csaknem kétszáz oldalas memoárja, amely összetett racionális függvények iterációinak szentelt, amelyben Julia halmazait ismertették – a Mandelbrot-halmazhoz szorosan kapcsolódó fraktálok egész családját. Ezt az alkotást a Francia Akadémia díjával jutalmazták, de egyetlen illusztrációt sem tartalmazott, így nem lehetett értékelni a felfedezett tárgyak szépségét.

Annak ellenére, hogy ez a munka Juliát dicsőítette az akkori matematikusok között, gyorsan feledésbe merült. Csak fél évszázaddal később került újra a figyelem a számítógépekre: ők tették láthatóvá a fraktálok világának gazdagságát és szépségét.

Fraktál méretek

Mint ismeretes, egy geometriai alakzat mérete (mérésszáma) azon koordináták száma, amelyek egy ezen az ábrán fekvő pont helyzetének meghatározásához szükségesek.

Például egy pont helyzetét a görbén egy koordináta, egy felületen (nem feltétlenül síkon) két koordináta, a háromdimenziós térben három koordináta határozza meg.

Általánosabb matematikai szempontból a dimenziót így határozhatjuk meg: a lineáris méretek növekedése, mondjuk kétszer, egydimenziós (topológiai szempontból) objektumok (szegmens) esetén méretnövekedéshez vezet. (hosszúság) kétszer, kétdimenziós (négyzet) esetén a lineáris méretek azonos növekedése a méret (terület) 4-szereséhez, a háromdimenziós (kocka) 8-szoros növekedéséhez vezet. Vagyis a „valódi” (úgynevezett Hausdorff) dimenzió egy tárgy „méretének” növekedése logaritmusának és a lineáris méretnövekedés logaritmusának az arányaként számítható ki. Vagyis a D szakaszra = log (2) / log (2) = 1, a D síkra = log (4) / log (2) = 2, a térfogatra D = log (8) / log (2)) = 3.

Számítsuk ki most a Koch-görbe dimenzióját, amelynek felépítéséhez az egységszakaszt három egyenlő részre osztjuk, és a középső intervallumot egy e szakasz nélküli egyenlő oldalú háromszög helyettesíti. A minimális szakasz lineáris méretének háromszoros növekedésével a Koch-görbe hossza log (4) / log (3) ~ 1, 26 értékkel nő. Vagyis a Koch-görbe mérete tört!

Tudomány és művészet

1982-ben jelent meg Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" című könyve, amelyben a szerző összegyűjtötte és rendszerezte az akkoriban a fraktálokkal kapcsolatos szinte minden információt, és könnyen és hozzáférhető módon bemutatta. Mandelbrot előadásában nem a nehézkes képletekre és matematikai konstrukciókra, hanem az olvasók geometriai intuíciójára fektette a fő hangsúlyt. A számítógéppel készített illusztrációknak és történelmi meséknek köszönhetően, amelyekkel a szerző ügyesen felhígította a monográfia tudományos összetevőjét, a könyv bestseller lett, a fraktálok pedig a nagyközönség számára ismertté váltak.

A nem matematikusok körében elért sikerük nagyrészt annak köszönhető, hogy nagyon egyszerű, egy középiskolás számára is érthető konstrukciók és képletek segítségével elképesztő bonyolultságú és szépségű képek születnek. Amikor a személyi számítógépek elég erősek lettek, még egy egész művészeti irányzat is megjelent - a fraktálfestészet, és szinte minden számítógép-tulajdonos meg tudta csinálni. Az interneten most könnyen találhat számos, ezzel a témával foglalkozó webhelyet.

Háború és béke

Ahogy fentebb megjegyeztük, az egyik fraktál tulajdonságokkal rendelkező természeti objektum a tengerpart. Egy érdekes történet kapcsolódik hozzá, pontosabban a hosszának mérésére tett kísérlethez, amely Mandelbrot tudományos cikkének alapját képezte, és „A természet fraktálgeometriája” című könyvében is leírja.

Ezt a kísérletet Lewis Richardson, egy nagyon tehetséges és különc matematikus, fizikus és meteorológus állította színpadra. Kutatásának egyik iránya a két ország közötti fegyveres konfliktus okainak és valószínűségének matematikai leírására tett kísérlet volt. Az általa figyelembe vett paraméterek között szerepelt a két hadviselő ország közös határának hossza. Amikor numerikus kísérletekhez gyűjtött adatokat, azt találta, hogy a különböző forrásokban a Spanyolország és Portugália közös határára vonatkozó adatok nagyon eltérőek.

Ez arra késztette, hogy felfedezze a következőket: egy ország határainak hossza attól függ, hogy milyen vonalzóval mérjük őket. Minél kisebb a lépték, annál hosszabb a határ. Ez annak köszönhető, hogy nagyobb nagyítással egyre több olyan parti ívet is figyelembe lehet venni, amelyeket korábban a mérések durvasága miatt figyelmen kívül hagytak. És ha minden léptéknöveléssel megnyílnak a vonalak korábban nem számolt hajlatai, akkor kiderül, hogy a határok hossza végtelen! Igaz, a valóságban ez nem történik meg – méréseink pontosságának véges határa van. Ezt a paradoxont Richardson-effektusnak nevezik.

Konstruktív (geometriai) fraktálok

A konstruktív fraktál felépítésének algoritmusa általános esetben a következő. Először is két megfelelő geometriai alakzatra van szükségünk, nevezzük ezeket alapnak és töredéknek. Az első szakaszban a jövőbeli fraktál alapját ábrázolják. Ezután egyes részeit megfelelő méretarányú töredékre cserélik - ez az építés első iterációja. Ekkor a kapott alakzat egyes részeit ismét töredékhez hasonló alakzatokká változtatja, és így tovább Ha ezt a folyamatot végtelenségig folytatjuk, akkor a határban fraktált kapunk.

Tekintsük ezt a folyamatot példaként a Koch-görbével. A Koch-görbe alapjául bármilyen görbét vehet (a "Koch hópehely" esetében ez egy háromszög). De korlátozzuk magunkat a legegyszerűbb esetre - egy szegmensre. A töredék az ábra tetején látható szaggatott vonal. Az algoritmus első iterációja után ebben az esetben a kezdeti szegmens egybeesik a töredékkel, majd minden egyes alkotó szegmensét szaggatott vonal helyettesíti, hasonlóan egy töredékhez stb. Az ábrán az első négy lépés látható. ez a folyamat.

A matematika nyelvén: dinamikus (algebrai) fraktálok

Az ilyen típusú fraktálok a nemlineáris dinamikus rendszerek tanulmányozása során keletkeznek (innen ered a név). Egy ilyen rendszer viselkedése egy f (z) komplex nemlineáris függvénnyel (polinom) írható le. Vegyünk egy z0 kezdőpontot a komplex síkon (lásd az oldalsávot). Tekintsünk most egy ilyen végtelen számsort a komplex síkon, amelyek mindegyike az előzőből adódik: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

A z0 kezdeti ponttól függően egy ilyen sorozat különbözőképpen viselkedhet: a végtelen felé hajlik, mint n -> ∞; konvergálnak valamilyen végponthoz; ciklikusan vegyen fel számos rögzített értéket; bonyolultabb lehetőségek is lehetségesek.

Komplex számok

A komplex szám olyan szám, amely két részből áll - valós és imagináris, azaz az x + iy formális összegből (itt x és y valós számok). én az ún. képzeletbeli egység, vagyis olyan szám, amely kielégíti az i ^ 2 = -1 egyenletet. Az alapvető matematikai műveletek komplex számok felett vannak meghatározva - összeadás, szorzás, osztás, kivonás (csak az összehasonlító művelet nincs definiálva). A komplex számok megjelenítéséhez gyakran használnak geometriai ábrázolást - a síkon (ezt komplexnek nevezik), a valós részt az abszcisszán, a képzeletbeli részt pedig az ordinátán helyezik el, míg a komplex szám egy derékszögű pontnak felel meg. x és y koordináták.

Így a komplex sík bármely z pontja saját viselkedési karakterrel rendelkezik az f (z) függvény iterációi során, és az egész sík részekre oszlik. Ebben az esetben az ezen részek határán fekvő pontok a következő tulajdonsággal rendelkeznek: tetszőlegesen kis elmozdulás esetén viselkedésük jellege élesen megváltozik (az ilyen pontokat bifurkációs pontoknak nevezzük). Kiderült tehát, hogy az egy meghatározott típusú viselkedésű ponthalmazok, valamint a bifurkációs pontok halmazai gyakran rendelkeznek fraktál tulajdonságokkal. Ezek az f (z) függvény Julia-halmazai.

Sárkányok családja

Az alap és a töredék variálásával elképesztően sokféle konstruktív fraktálhoz juthat.

Sőt, hasonló műveletek végezhetők háromdimenziós térben is. A térfogati fraktálok példái a Menger-szivacs, a Sierpinski-piramis és mások.

A sárkánycsaládot konstruktív fraktáloknak is nevezik. Néha a felfedezők nevén "az autópálya-Harter sárkányainak" nevezik őket (formájukban a kínai sárkányokra hasonlítanak). Ennek a görbének több módja is van. A legegyszerűbb és legintuitívabb ezek közül a következő: kell venni egy kellően hosszú papírcsíkot (minél vékonyabb a papír, annál jobb), és félbe kell hajtani. Ezután ismét kétszer hajlítsa meg ugyanabba az irányba, mint az első alkalommal.

Többszöri ismétlés után (általában öt-hat hajtás után a csík túl vastag lesz ahhoz, hogy szépen tovább hajlítsa) a csíkot vissza kell hajlítani, és meg kell próbálni 90˚-os szögeket kialakítani a hajtásoknál. Ezután a sárkány íve profilban fog megjelenni. Természetesen ez csak közelítés lesz, mint minden fraktáltárgyak ábrázolására tett kísérletünk. A számítógép lehetővé teszi, hogy sokkal több lépést ábrázoljon ebben a folyamatban, és az eredmény egy nagyon szép figura.

A Mandelbrot készlet kissé eltérő módon épül fel. Tekintsük az fc (z) = z ^ 2 + c függvényt, ahol c egy komplex szám. Szerkesszük meg ennek a függvénynek a sorozatát z0 = 0-val, a c paramétertől függően divergálhat a végtelenbe, vagy korlátos maradhat. Ezenkívül c minden értéke, amelyre ez a sorozat korlátozva van, a Mandelbrot halmazt alkotja. Maga Mandelbrot és más matematikusok tanulmányozták részletesen, akik számos érdekes tulajdonságot fedeztek fel ennek a halmaznak.

Látható, hogy a Julia és Mandelbrot halmazok definíciói hasonlóak egymáshoz. Valójában ez a két halmaz szorosan összefügg. Ugyanis a Mandelbrot halmaz a c komplex paraméter összes értéke, amelyhez az fc (z) Julia halmaz kapcsolódik (egy halmazt akkor nevezünk kapcsoltnak, ha nem bontható két diszjunkt részre, néhány további feltétellel).

Fraktálok és az élet

Manapság a fraktálok elméletét széles körben használják az emberi tevékenység különböző területein. A tisztán tudományos kutatási tárgy és a már említett fraktálfestés mellett az információelméletben a fraktálokat grafikus adatok tömörítésére is használják (itt elsősorban a fraktálok önhasonlósági tulajdonságát használják – elvégre azért, hogy emlékezzünk egy kis töredékre egy rajz és átalakítások, amelyekkel a többi alkatrészt megkaphatja, sokkal kevesebb memória szükséges, mint a teljes fájl tárolásához).

A fraktált definiáló képletekhez véletlenszerű perturbációkat adva olyan sztochasztikus fraktálokat kaphatunk, amelyek nagyon hihetően közvetítenek néhány valós objektumot - domborzati elemeket, víztestek felszínét, néhány növényt, amelyet sikeresen alkalmaznak a fizikában, a földrajzban és a számítógépes grafikában, hogy nagyobb eredményeket érjenek el. a szimulált objektumok hasonlósága a valóshoz. Az elektronikában olyan antennákat gyártanak, amelyek fraktál alakúak. Kis helyet foglalva meglehetősen jó minőségű jelvételt biztosítanak.

A közgazdászok fraktálokat használnak az árfolyamgörbék leírására (ez a tulajdonság Mandelbrot fedezte fel). Ezzel zárul ez a kis kirándulás a fraktálok elképesztően szép és változatos világába.