Univerzumunk lapos, gömb alakú vagy hiperbolikus alakja?

2024 Szerző: Seth Attwood | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-16 16:07

Véleményünk szerint az univerzum végtelen. Ma már tudjuk, hogy a Föld gömb alakú, de ritkán gondolunk az Univerzum alakjára. A geometriában számos háromdimenziós alakzat létezik az „ismerős” végtelen tér alternatívájaként. A szerzők a különbséget a leginkább hozzáférhető formában magyarázzák.

Az éjszakai égboltra nézve úgy tűnik, hogy az űr minden irányban örökké tart. Így képzeljük el az Univerzumot – de nem azt, hogy igaz. Hiszen volt idő, amikor mindenki azt hitte, hogy a Föld lapos: a földfelszín görbülete észrevehetetlen, a Föld kerekségének gondolata pedig érthetetlennek tűnt.

Ma már tudjuk, hogy a Föld gömb alakú. De ritkán gondolunk az univerzum alakjára. Ahogy a gömb felváltotta a lapos földet, más háromdimenziós formák kínálnak alternatívákat az „ismerős” végtelen tér helyett.

Az univerzum alakjával kapcsolatban két kérdést lehet feltenni – különálló, de egymással összefüggő kérdéseket. Az egyik a geometriáról szól – a szögek és területek aprólékos számításairól. A másik a topológiáról szól: hogyan egyesülnek az egyes részek egyetlen formává.

A kozmológiai adatok arra utalnak, hogy az Univerzum látható része sima és homogén. A tér lokális szerkezete szinte minden ponton és minden irányban egyforma. Csak három geometriai forma felel meg ezeknek a jellemzőknek - lapos, gömb alakú és hiperbolikus. Nézzük sorra ezeket az alakzatokat, néhány topológiai megfontolást és következtetést a kozmológiai adatok alapján.

Lapos univerzum

Valójában ez az iskolai geometria. A háromszög szögei 180 fokot adnak össze, a kör területe pedig πr2. A lapos háromdimenziós alakzat legegyszerűbb példája egy közönséges végtelen tér, a matematikusok euklideszinek nevezik, de vannak más lapos lehetőségek is.

Nem könnyű elképzelni ezeket a formákat, de három helyett két dimenzióban gondolkodva összekapcsolhatjuk intuíciónkat. A szokásos euklideszi síkon kívül a sík egy darabjának kivágásával és éleinek ragasztásával más lapos formákat is létrehozhatunk. Tegyük fel, hogy kivágunk egy téglalap alakú papírt, és a szemközti széleit ragasztószalaggal felragasztjuk. Ha a felső élt az alsó élhez ragasztod, akkor hengert kapsz.

A jobb szélét a bal oldalra is ragaszthatjuk - ekkor fánkot kapunk (a matematikusok ezt az alakzatot tórusznak hívják).

Valószínűleg tiltakozik majd: "Valami nem túl lapos." És igazad lesz. Kicsit csaltunk a lapos tórusz miatt. Ha tényleg ilyen módon próbálsz tóruszt készíteni egy darab papírból, akkor bizonyos nehézségekbe ütközöl. Könnyű hengert készíteni, de a végeit nem fog sikerülni ragasztani: a papír a tórusz belső köre mentén összegyűrődik, de a külső körhöz nem lesz elég. Tehát valamilyen rugalmas anyagot kell vennie. De a nyújtás megváltoztatja a hosszt és a szögeket, és ezáltal az egész geometriát.

Lehetetlen valódi sima fizikai tóruszt építeni egy lapos anyagból egy közönséges háromdimenziós térben a geometria torzítása nélkül. Marad az absztrakt spekuláció arról, hogy milyen egy lapos tóruszban élni.

Képzeld el, hogy egy kétdimenziós lény vagy, akinek az univerzum egy lapos tórusz. Mivel ennek az univerzumnak az alakja egy lapos papírlapon alapul, az általunk megszokott geometriai tények változatlanok maradnak – legalábbis korlátozott léptékben: a háromszög szögei összeadódnak 180 fokos, és így tovább. De a globális topológia vágás és ragasztás általi változásával az élet drámaian megváltozik.

Először is, a tórusznak vannak egyenes vonalai, amelyek hurkolnak és visszatérnek a kiindulási ponthoz.

Egy torz tóruszon íveltnek tűnnek, de a lapos tórusz lakói számára egyenesnek tűnnek. És mivel a fény egyenes vonalban halad, így ha közvetlenül bármelyik irányba nézel, hátulról látod magad.

Mintha az eredeti papírlapon a fény áthaladt volna rajtad, eljutott volna a bal szélig, majd a jobb oldalon újra megjelent volna, mint egy videojátékban.

A következőképpen gondolkodhatunk erről: Ön (vagy egy fénysugár) átlépi a négy szél egyikét, és egy új szobában találja magát, de valójában ez ugyanaz a szoba, csak más nézőpontból. Egy ilyen univerzumban bolyongva az eredeti szoba végtelen számú másolatával találkozhatsz.

Ez azt jelenti, hogy végtelen számú másolatot készít magáról, bárhová is néz. Ez egyfajta tükörhatás, csak ezek a másolatok nem éppen tükröződések.

A tóruszon mindegyik megfelel egy vagy másik huroknak, amelyen keresztül a fény visszatér hozzád.

Ugyanígy lapos háromdimenziós tóruszt kapunk, ha egy kocka vagy más doboz ellentétes oldalait összeragasztjuk. Ezt a teret nem fogjuk tudni ábrázolni egy közönséges végtelen téren belül - egyszerűen nem fog elférni -, de képesek leszünk absztrakt módon spekulálni a benne lévő életről.

Ha az élet egy kétdimenziós tóruszban olyan, mint egy végtelen, kétdimenziós tömb azonos négyszögletes szobákból, akkor az élet egy háromdimenziós tóruszban olyan, mint egy végtelen háromdimenziós tömb azonos köbös szobákból. Ön is végtelen számú másolatot fog látni a sajátjából.

A háromdimenziós tórusz csak egyike a véges lapos világ tíz változatának. Vannak végtelen lapos világok is – például egy végtelen henger háromdimenziós analógja. Mindegyik világnak meglesz a maga "nevetőszobája" "reflexiókkal".

Lehet, hogy univerzumunk a lapos formák egyike?

Ha az űrbe nézünk, nem látjuk végtelen számú saját példányunkat. Ettől függetlenül a lapos formák eltávolítása nem egyszerű. Először is, mindegyiknek ugyanaz a lokális geometriája, mint az euklideszi térnek, ezért nem lehet őket lokális mérésekkel megkülönböztetni.

Tegyük fel, hogy még a saját példányodat is láttad, ez a távoli kép csak azt mutatja, hogyan néztél ki (vagy a galaxisod egésze) a távoli múltban, hiszen a fény hosszú utat tett meg, míg elért téged. Talán még a saját másolatainkat is látjuk – de a felismerhetetlenségig megváltozott. Ráadásul a különböző példányok különböző távolságra vannak tőled, tehát nem egyformák. Ráadásul olyan messze, hogy még mindig nem fogunk látni semmit.

E nehézségek megkerülésére a csillagászok általában nem önmaguk másolatait keresik, hanem a legtávolabbi látható jelenség – a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás – ismétlődő jellemzőit, ez az Ősrobbanás emléke. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy olyan körpárokat kell keresni, amelyekben a meleg és hideg pontok egyező mintázata van – feltételezzük, hogy ugyanazok, csak különböző oldalról.

A csillagászok éppen ilyen keresést végeztek 2015-ben a Planck Űrteleszkópnak köszönhetően. Adatokat gyűjtöttek össze az egybeeső körök típusairól, amelyeket egy lapos 3D tóruszban vagy más lapos 3D alakzatban – úgynevezett lemezben – látunk, de nem találtak semmit. Ez azt jelenti, hogy ha egy tóruszban élünk, akkor az olyan nagynak tűnik, hogy minden ismétlődő töredék a megfigyelhető univerzumon kívül található.

Gömb alakú

Nagyon jól ismerjük a kétdimenziós gömböket – ez egy labda, egy narancs vagy a Föld felszíne. De mi van akkor, ha az univerzumunk egy háromdimenziós gömb?

Egy háromdimenziós gömb megrajzolása nehéz, de egyszerű analógiával leírni. Ha egy kétdimenziós gömb a közönséges háromdimenziós tér valamely központi pontjától meghatározott távolságra lévő összes pont gyűjteménye, akkor a háromdimenziós gömb (vagy "háromdimenziós gömb") az összes olyan pont gyűjteménye, amelyek bizonyos távolságra vannak bizonyos pontoktól. központi pont a négydimenziós térben.

A triszférán belüli élet nagyon különbözik a sík térben való élettől. Képzeld el, hogy egy kétdimenziós lény vagy egy kétdimenziós szférában. A kétdimenziós szféra az egész Univerzum, ezért nem látod a körülötted lévő háromdimenziós teret, és nem tudsz bejutni abba. Ebben a gömb alakú univerzumban a fény a legrövidebb úton halad: nagy körökben. De ezek a körök egyenesnek tűnnek neked.

Most képzeld el, hogy te és a 2D-s haverod az Északi-sarkon lógnak, és ő elment sétálni. Eltávolodva eleinte fokozatosan csökkenni fog a látókörödben – akárcsak a hétköznapi világban, bár nem olyan gyorsan, mint ahogy megszoktuk. Ennek az az oka, hogy ahogy növekszik a látóköröd, a barátod egyre kevesebbet vesz fel belőle.

De amint a barátod átlépi az Egyenlítőt, valami furcsa történik: nő a mérete, bár valójában továbbra is távolodik. Ennek az az oka, hogy a vizuális körödben elfoglalt százalékuk növekszik.

Három méterrel a Déli-sarktól a barátod úgy fog kinézni, mintha három méterrel állna tőled.

A Déli-sarkra érve teljesen kitölti az egész látható horizontot.

És amikor nincs senki a Déli-sarkon, a vizuális horizontod még furcsább lesz – te vagy az. Ez azért van, mert az általad kibocsátott fény szétterjed az egész gömbben, amíg vissza nem jön.

Ez közvetlenül befolyásolja az életet a 3D birodalomban. A triszféra minden pontjának van ellentéte, és ha van ott egy tárgy, azt az egész égbolton látni fogjuk. Ha nincs ott semmi, magunkat látjuk a háttérben – mintha a megjelenésünket egy léggömbre raktuk volna, majd kifordítva az egész horizontig felfújtuk volna.

De bár a triszféra a gömbgeometria alapmodellje, messze nem az egyetlen lehetséges tér. Ahogyan az euklideszi tér darabjainak kivágásával és ragasztásával különböző lapos modelleket építettünk, úgy megfelelő triszféradarabok ragasztásával gömb alakúakat is építettünk. Ezen ragasztott alakzatok mindegyike a tóruszhoz hasonlóan "nevetésszoba" hatású lesz, csak a gömb alakú helyiségek száma lesz véges.

Mi van, ha az univerzumunk gömb alakú?

Még a legnárcisztikusabbak sem tekintik magunkat háttérnek az éjszakai égbolt helyett. De mint egy lapos tórusz esetében, az, hogy valamit nem látunk, egyáltalán nem jelenti azt, hogy az nem létezik. A gömb alakú univerzum határai nagyobbak lehetnek, mint a látható világ határai, és a háttér egyszerűen nem látható.

De a tórusszal ellentétben a gömb alakú univerzum helyi mérésekkel kimutatható. A gömbalakzatok nemcsak globális topológiájukban, hanem kis geometriájukban is különböznek a végtelen euklideszi tértől. Például, mivel a gömbgeometriában az egyenesek nagy körök, az ottani háromszögek "dúsabbak", mint az euklideszi háromszögek, és szögeik összege meghaladja a 180 fokot.

Alapvetően a kozmikus háromszögek mérése a fő módja annak, hogy ellenőrizzük, mennyire görbült az univerzum. A kozmikus mikrohullámú háttér minden meleg vagy hideg pontjára ismert az átmérője és a Földtől való távolsága, amely a háromszög három oldalát alkotja. Megmérhetjük az éjszakai égbolton lévő folt által alkotott szöget – és ez lesz a háromszög egyik sarka. Ezután ellenőrizhetjük, hogy az oldalhosszak és a szögek összegének kombinációja megfelel-e sík-, gömb- vagy hiperbolikus geometriának (ahol a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok).

A legtöbb ilyen számítás, más görbületmérésekkel együtt, azt feltételezi, hogy az univerzum vagy teljesen lapos, vagy nagyon közel van hozzá. Egy kutatócsoport a közelmúltban azt javasolta, hogy a Planck Űrteleszkóp 2018-as adatai közül néhány inkább a gömb alakú univerzum mellett szól, bár más kutatók azzal érveltek, hogy a bemutatott bizonyítékok statisztikai hibának tulajdoníthatók.

Hiperbolikus geometria

A gömbtől eltérően, amely önmagában záródik, a hiperbolikus geometria vagy a negatív görbületű tér kifelé nyílik. Ez a széles karimájú kalap, a korallzátony és a nyereg geometriája. A hiperbolikus geometria alapmodellje a végtelen tér, akárcsak a lapos euklideszi. De mivel egy hiperbolikus alakzat sokkal gyorsabban tágul kifelé, mint egy lapos, még egy kétdimenziós hiperbolikus síkot sem lehet beilleszteni a hétköznapi euklideszi térbe, ha nem akarjuk eltorzítani a geometriáját. De van egy torz képe a Poincaré-korongként ismert hiperbolikus síknak.

A mi szempontunkból a határkör közelében lévő háromszögek sokkal kisebbnek tűnnek, mint a középponthoz közeli háromszögek, de a hiperbolikus geometria szempontjából minden háromszög egyforma. Ha megpróbálnánk ezeket a háromszögeket valóban egyforma méretben ábrázolni - esetleg rugalmas anyag felhasználásával és az egyes háromszögeket felfújva, a közepétől kifelé haladva - a korongunk egy széles karimájú kalaphoz hasonlítana, és egyre jobban meghajolna. És ahogy közeledik a határhoz, ez a görbület kicsúszik az ellenőrzés alól.

A közönséges euklideszi geometriában a kör kerülete egyenesen arányos a sugarával, de a hiperbolikus geometriában a kör a sugárhoz képest exponenciálisan növekszik. A hiperbolikus korong határának közelében háromszögek halmaza képződik

E tulajdonság miatt a matematikusok előszeretettel mondják, hogy könnyű eltévedni a hiperbolikus térben. Ha a barátod eltávolodik tőled a normál euklideszi térben, akkor elkezd távolodni, de inkább lassan, mert a látóköröd nem nő olyan gyorsan. A hiperbolikus térben a látóköre exponenciálisan kitágul, így barátja hamarosan végtelenül kicsi folttá zsugorodik. Tehát, ha nem követte az útvonalát, nem valószínű, hogy később megtalálja.

Még a hiperbolikus geometriában is egy háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok – például a Poincaré-korongmozaikból egyes háromszögek szögeinek összege csak 165 fok.

Az oldaluk közvetettnek tűnik, de ez azért van, mert a hiperbolikus geometriát egy torzító lencsén keresztül nézzük. A Poincaré-korong lakója számára ezek a görbék valójában egyenes vonalak, így a leggyorsabb módja annak, hogy A pontból B pontba (mindkettő szélén) egy bevágáson keresztül juthasson el a középpontba.

Van egy természetes módszer a Poincaré-korong háromdimenziós analógjának elkészítésére - vegyünk egy háromdimenziós golyót, és töltsük meg háromdimenziós alakzatokkal, amelyek fokozatosan csökkennek, ahogy közelednek a határgömbhöz, mint a háromszögek a Poincaré-korongon. És akárcsak a síkok és a gömbök esetében, egy sor további háromdimenziós hiperbolikus teret hozhatunk létre, ha egy háromdimenziós hiperbolikus golyó megfelelő darabjait kivágjuk és a lapjait összeragasztjuk.

Nos, az Univerzumunk hiperbolikus?

A hiperbolikus geometria keskeny háromszögeivel és exponenciálisan növekvő köreivel egyáltalán nem olyan, mint a minket körülvevő tér. Valójában, amint azt már megjegyeztük, a kozmológiai mérések többsége egy lapos univerzum felé hajlik.

De nem zárhatjuk ki, hogy gömb alakú vagy hiperbolikus világban élünk, mert mindkét világ kis töredékei szinte laposnak tűnnek. Például a kis háromszögek szögeinek összege a gömbgeometriában csak valamivel több 180 foknál, a hiperbolikus geometriában pedig csak valamivel kevesebb.

Ezért gondolták a régiek, hogy a Föld lapos – a Föld görbülete szabad szemmel nem látható. Minél nagyobb a gömb- vagy hiperbolikus forma, annál laposabbak az egyes részei, ezért ha Univerzumunk rendkívül nagy gömb- vagy hiperbolikus alakkal rendelkezik, akkor annak látható része olyan közel van a laposhoz, hogy a görbületét csak ultraprecíz műszerekkel lehet kimutatni, és még nem találtuk fel őket….